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Question:

(क) $\mathbf{R}^2$ के एक विवृत उपसमुच्चय D पर दो अवकलनीय फलनों f और g की फलनात्मक आश्रितता का आवश्यक प्रतिबंध बताने वाले प्रमेय का कथन दीजिए। निम्नलिखित फलनों f तथा g द्वारा परिभाषित इस प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$ $$f(x, y) = \frac{y - x}{y + x}, g(x, y) = \frac{x}{y}$ $

(ख) अस्पष्ट फलन प्रमेय की सहायता से यह दिखाइए कि 1 के प्रतिवेश में एक ऐसा अवकलनीय फलन g होता है, जिससे कि (2,1) के प्रतिवेश में $g(1) = 2$ और $F(g(y),y) = 0$ जहाँ
$F(x,y) = x^5 + y^5 - 16xy^3 - 1 = 0$ से फलन F परिभाषित है। g'(y) भी ज्ञात कीजिए।
(ग) $f(x,y) = (x^2 - y^2, 2xy)$ द्वारा परिभाषित फलन f की (1, -1) पर स्थानीय व्युत्क्रमणीयता की जाँच कीजिए। फलन f के लिए एक प्रांत ज्ञात कीजिए जिसमें f व्युत्क्रमणीय है।

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Question:

(क) ग्रीन प्रमेय का कथन दीजिए और इसकी सहायता से
$\int\limits_C (3x^2 - 4y) dx - (2x + y^3) dy$ का मान निकालिए,
जहाँ C, दीर्घवृत्त $4x^2 + 9y^2 = 36$ है।
(ख) पृष्ठ $x^2 + 2y^2 = 1$ पर फलन $f(x, y) = x^2 + y$ के चरम मान ज्ञात कीजिए।

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Question:

(क) वक्रों $y = 4x^2$ और $x = 4$ से परिबद्ध और $\delta(x, y) = y$ के घनत्व वाले एक पतली शीट का गुरुत्व केन्द्र ज्ञात कीजिए।
(ख) $z = 1$ और $z = x^2 + y^2$ से परिबद्ध ठोस घनाकृति का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, जबकि घनत्व फलन, $\delta(x, y, z) = |x|$ हो।

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Question:

(क) मान लीजिए

$$f(x, y) = \begin{cases} \frac{3x^2 y^4}{x^4 + y^8}, & (x, y) \neq (0,0) \\ 0, & (x, y) = (0,0) \end{cases}$ $
दिखाइए कि (0,0) पर सभी दिशाओं में f दिक् अवकलज होते हैं।

(ख) मान लीजिए $x = e^r \cos \theta, y = e^r \sin \theta$ और f, x और y का एक संततः अवकलनीय फलन है जिसके आंशिक अवकलज भी संततः अवकलनीय हैं। दिखाइए कि
$$\frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} = (x^2 + y^2) \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \right)$ $

(ग) मान लीजिए $a = (1, 2, 3), b = (-5, 3, -2), c = (2, -4, 1), \mathbf{R}^3$ के तीन बिन्दु हैं।
|2b - a + 3c| ज्ञात कीजिए।

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Question:

(क) निम्नलिखित सीमा ज्ञात कीजिए :
(i) $\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2}{8x^2 - 3} \right)^{1/3}$
(ii) $\lim_{x \to 0^+} (\sin x)^{\sin x}$

(ख) बिन्दु (1,2) पर फलन $f(x,y)=1+5xy+3^{2}y$ का तृतीय टेलर बहुपद ज्ञात कीजिए।
(ग) केवल परिभाषाओं को लागू करके f_xy(0,0) और f_yx(0,0) ज्ञात कीजिए, जबकि फलन

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के लिए इनका अस्तित्व होता हो।

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Question:

बताइए निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तरों के कारण बताइए।

(i) $\quad \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{\sin x} = 1$

(ii) तीन चरों वाला एक वास्तविक-मान फलन, जो सर्वत्र सतत है, अवकलनीय होता है।
(iii) $F(x, y) = (y + 2, x + y)$ से परिभाषित फलन $F : \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R}^2$ किसी भी बिन्दु $(x, y) \in \mathbf{R}^2$ पर स्थानिकतः व्युत्क्रमणीय होता है।
(iv) Image ignouacademy-com--p-provider-97092
से परिभाषित फलन $f : [-1, 1] \times [-2, 2] \to \mathbf{R}$ समाकलनीय होता है।
(v) $f(x, y) = 1 - y^2 + x^2$ से परिभाषित फलन $f : \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R}$ का (0, 0) पर एक चरम मान होता है।

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Question:

एक कम्पनी दो प्रकार की चमड़े की बेल्ट बनाती है। बेल्ट A उच्च कोटि की व बेल्ट B निम्न कोटि की है। दोनों बेल्टों A और B पर लाभ क्रमशः ₹ 4 और ₹ 3 प्रति बेल्ट है। A प्रकार की बेल्ट को बनाने में B, प्रकार की बेल्ट को बनाने के समय से दुगुना समय लगता है और यदि सभी बेल्ट केवल B, प्रकार की ही हों, तो कम्पनी प्रतिदिन 1000 बेल्ट बना पाती है। चमड़े की पूर्ति भी प्रतिदिन केवल 800 बेल्टों (दोनों A और B प्रकार की मिलाकर) के लिए ही उपलब्ध है।

A प्रकार की बेल्ट के लिए एक फैन्सी तुकमें (बकल) की आवश्यकता है और प्रतिदिन केवल 400 तुकमें (बकल) ही उपलब्ध हैं। B. प्रकार की बेल्ट के लिए प्रतिदिन 700 तुकमें ही उपलब्ध हैं। प्रत्येक प्रकार की बेल्ट का प्रतिदिन कितना उत्पादन होना चाहिए? इस समस्या को रैखिक प्रोग्रामन (LP) निदर्श में सूत्रित कीजिए और इसे ग्राफीय-विधि द्वारा हल कीजिए।
b) उत्तर-पश्चिम कोना विधि का प्रयोग करके निम्नलिखित परिवहन समस्या का प्रारम्भिक आधारी सुसंगत हल ज्ञात कीजिए :

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Question:

निम्नलिखित आद्य रैखिक प्रोग्रामन (एलपी) समस्या की द्वैती प्राप्त कीजिए :

$z = x_1 - 2x_2 + 3x_3$ का अधिकतमीकरण कीजिए
जबकि $\quad -2x_1 + x_2 + 3x_3 = 2$
$\quad\quad\quad 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 = 1$
$\quad\quad\quad x_1, x_2 x_3 \ge 0$

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Question:

) निम्नलिखित दो खिलाड़ी शून्य योग खेल को प्रमुखता सिद्धांत द्वारा $2 \times 2$ खेल में समानीत कीजिए और इस प्रकार खेल को हल कीजिए।

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Question:

बताइए निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य हैं और कौन-से असत्य। अपने उत्तर की पुष्टि एक संक्षिप्त उपपत्ति या प्रत्युदाहरण द्वारा कीजिए
a) परिमित संख्या में अवमुख समुच्चयों का सर्वनिष्ठ अवमुख नहीं होता है।
b) यदि $2 \times 2$ आव्यूह खेल $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ p & 4 \end{bmatrix}$ का मान 4 हो, तो $p \ge 4$ ।
c) यदि किसी $3 \times 3$ नियतन समस्या में लागत आव्यूह की प्रत्येक प्रविष्टि में 10 जोड़ा जाए, तो परिवर्तित लागत आव्यूह के लिए इष्टतम नियतन की कुल लागत में 10 की वृद्धि हो जाएगी।
d) किसी अधिकतमीकरण रैखिक प्रोग्रामन (LP) निदर्श में, जब सभी मान $c_j - z_j \ge 0$ हों, तो एकधा विधि सम्पन्न हो जाती है।
e) एक परिवहन समस्या में अपभ्रष्ट हल से बचने के लिए काल्पनिक (dummy) स्रोत या गंतव्य जोड़ा जाता है।

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Question:

दिए हुए प्रतिभूति समुच्चय में उनकी सभी निवेश सूचियां प्रदेश की परिसीमा पर या उसके अंदर स्थित है जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है।

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सुसंगत प्रदेश में वह निवेश सूची ज्ञात कीजिए जिसका अधिकतम प्रतिफल हो। इस प्रदेश में वह निवेश सूची भी ज्ञात कीजिए जिसमें न्यूनतम जोखिम हो।
ख) सुसंगत प्रदेश के दक्ष सीमांत को चित्रित करने की विधि की व्याख्या कीजिए।
ग) यदि n प्रतिभूतियों की सभी निवेशसूचियां प्राप्त हो तो एक उत्तम निवेश सूची का चयन करने के लिए निवेशक को कौन-सा निकस अपनाना चाहिए।

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Question:

वह महामारी निदर्श लीजिए जो आदि प्रतिबंध $t = 0$ पर $x = n$ के अधीन निम्नलिखित अवकल समीकरण द्वारा नियंत्रित है :
$$\frac{dx}{dt} = -\beta x (n + 1 - x)$ $
जहां x(t) समय t पर सुग्राह्य व्यक्तियों की संख्या है, $\beta$ संपर्क दर है। ऐसा मान लिया गया है कि जनसंख्या संवृत्त है और लोग समांग रूप से एक दूसरे के साथ मिल-जुलकर रह रहे हैं। मान लीजिए संपर्क दर 0.002 है और सुग्राह्य व्यक्तियों की संख्या प्रारंभ में 5000 है।
i) जनसंख्या का घनत्व ज्ञात कीजिए जब व्यक्तियों के नए रोगी बनने की दर अधिकतम हो।
ii) वह समय (सप्ताहों में) ज्ञात कीजिए जिसमें व्यक्तियों के नए रोगी बनने की दर अधिकतम हो।
iii) नए रोगी बनने की अधिकतम दर प्राप्त कीजिए।

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Question:

क) साम्य बिंदुओं का पता लगाकर और प्रावस्था पथ आलेखित करके निम्नलिखित निकायों के प्रावस्था आरेखों की तुलना कीजिए :
i) $\dot{x} = y, \dot{y} = -x$

ii) $\quad \dot{x} = xy, \dot{y} = -x^2$ (5)

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Question:

) निम्नलिखित त्रिघात कुल लागत फलन $C = 0.06q^3 - 0.8q^2 + 13q + 10$ लीजिए। यहां यह मान लीजिए कि q की कीमत प्रति एकक 15 है। वह उत्पादन ज्ञात कीजिए जिस पर अधिकतम लाभ प्राप्त होता है।
ख) प्रमुखता लागू करके नीचे दिए गए भुगतान आव्यूह से A और B की इष्टतम युक्तियां ज्ञात कीजिए।

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ग) मान लीजिए पिछला पूर्वानुमान 2090 था और पिछली अवधि में विशेष चर का वास्तविक मान 1985 था और इसका सबसे पुराना मान 1955 था। हाल ही में किए गए चार प्रेक्षणों पर आधारित गतिमान औसत तकनीक को लागू करके अगली अवधि के लिए किया गया नया पूर्वानुमान ज्ञात कीजिए।

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Question:

एक एकाधिकारी कीमत ‘p’ प्रति इकाई निर्धारित करता है और मांग की गई राशि ‘q’ निम्नलिखित संबंध द्वारा प्राप्त है $q = 17 - p$
मान लीजिए रू० 9 की एक नियत लागत है और रू० 1 प्रति इकाई की उपांतिक लागत है।
i) एकाधिकारी का लाभ फलन लिखिए।
ii) अधिकतम लाभ के लिए उत्पादित इकाइयों की संख्या ‘x’ ज्ञात कीजिए। अधिकतम लाभ भी ज्ञात कीजिए।
iii) एक कार्यक्षम प्रवेशी एकाधिकारी के व्यापार में प्रवेश करता है। उसे यह विश्वास है कि एकाधिकारी ‘x’ इकाइयों का उत्पाद करता रहेगा। इस कार्यक्षम प्रवेशी का लाभ फलन लिखिए।
iv) प्रवेशी के अधिकतम लाभ के लिए उत्पादित इकाइयों की संख्या ‘z’ ज्ञात कीजिए।
v) प्रवेशी का अधिकतम लाभ ज्ञात कीजिए और बताइए कि उसे व्यापार में प्रवेश करना चाहिए या नहीं।
vi) प्रवेशी के व्यापार में प्रवेश करने के बाद एकाधिकारी द्वारा अर्जित किया गया लाभ ज्ञात कीजिए।

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Question:

एक दिए हुए वर्ष $(t = 0)$ में पैदा हुए व्यक्तियों का एक समूह लीजिए और मान लीजिए इस समूह में से t वर्ष बाद जीवित रहने वाले व्यक्तियों की संख्या n(t) है। मान लीजिए x(t) इस समूह के उन सदस्यों की संख्या है, जिन्हें t वर्ष बाद तक चेचक नहीं हुआ है और इसलिए वे अभी तक सुग्राह्य बने हुए हैं। मान लीजिए $\beta$ वह दर है जिससे सुग्राह्य व्यक्तियों को चेचक होता है और $\nu$ वह दर है जिससे चेचक से पीड़ित व्यक्तियों की मृत्यु हो जाती है। अंत में मान लीजिए कि चेचक के अतिरिक्त अन्य कारणों से व्यक्ति की मृत्यु होने की दर $\mu(t)$ है। यदि dx/dt और dn/dt क्रमशः वह दर हो जिससे चेचक होने के कारण तथा अन्य कारणों से मृत्यु होने पर सुग्राह्य व्यक्तियों की संख्या और पूरी जनसंख्या में कमी आती हो, तो
i) dx/dt और dn/dt के समीकरण लिखकर ऊपर की समस्या का सूत्रण करें।
ii) $z = x/n$ लेकर यह दिखाइए कि z निम्नलिखित आदिमान समस्या को संतुष्ट करता है।
$$\frac{dz}{dt} = -\beta z(1 - \nu z), z(0) = 1$ $
iii) किसी भी समय t पर z(t) का मान ज्ञात कीजिए।

iv) बर्नाली ने यह आकलित किया था कि $v = \beta = \frac{1}{8}$ इन मानों की सहायता से 20 वर्ष की आयु वाले उन व्यक्तियों का समानुपात ज्ञात कीजिए जिन्हें चेचक नहीं हुआ था।

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Question:

जल निकाय में फाइटोप्लैंक्टन की एक विम संवृद्धि लीजिए। संवृद्धि की गतिकी का निर्धारण करने वाला निदर्श सूत्रित कीजिए, D इसका विसरण गुणांक है, r इसकी संवृद्धि दर है और R डूबने के कारण इसकी मृत्यु-दर है। यदि हम क्षेत्रफल $0 \le x \le 2$ लें, और फाइटोप्लैंक्टन का प्रारंभिक सांद्रण Image ignouacademy-com--p-indias-97741 मान लें, तो किसी भी समय t पर $0 \le x \le 2$ में फाइटोप्लैंक्टन का सांद्रण बंटन ज्ञात कीजिए।

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Question:

एक प्रक्षेप्य को दो अलग-अलग प्रक्षेप कोणों $\alpha$ और $\beta$ पर एक अचर चाल v से इस तरह नियत कर दिया गया कि इससे समान परास प्राप्त हो। दिखाइए कि $\text{cosec}\alpha = \sec\beta$

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Question:

एक पेराशूटिसट जिसका वजन (वस्तुतः द्रव्यमान) 64 किग्रा है, जमीन से 5000 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहे हेलीकाप्टर से नीचे गिरती है। वह गुरूत्व के प्रभाव के अधीन धरती की ओर गिरती है। यहां यह मान लीजिए कि गुरूत्व बल अचर है। यहां पर भी मान लीजिए कि वायु-प्रतिरोध से उत्पन्न बल पेराशूटिसट के वेग के आनुपातिक है। आनुपातिकता स्थिरांक $k_1 = 16$ किग्रा/सेकेंड है, जबकि पेराशूट बंद है और $k_2 = 100$ किग्रा/सेकेंड जबकि पेराशूट खुला होता है। यदि हेलीकाप्टर से गिरने के 1 मिनट बाद भी पेराशूट नहीं खुलता है तो बताइए कि कितने सेकेंड बाद वह धरती पर गिर जाएगी?

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Question:

निम्नलिखित समीकरण निकाय लीजिए।
$$\frac{dx}{dt} = y, \frac{dy}{dt} = -k^2 \sin x$ $
संगत रैखिक समीकरण-निकाय के क्रांतिक बिन्दु की प्रकृति ज्ञात कीजिए।
ग) लंबाई l वाली डोरी के एक छोर को एक नियत बिन्दु से और दूसरे छोर को द्रव्यमान m वाली एक छड़ी से जोड़ दिया गया है। यह छड़ी अचर वेग v से एक वृत्त में चक्कर काट रही है। विमीय विश्लेषण की सहायता से डोरी में लग रहे बल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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