Question
बताइए निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तरों के कारण बताइए।
(i)
(ii) तीन चरों वाला एक वास्तविक-मान फलन, जो सर्वत्र सतत है, अवकलनीय होता है।
(iii) से परिभाषित फलन
किसी भी बिन्दु
पर स्थानिकतः व्युत्क्रमणीय होता है।
(iv)
से परिभाषित फलन समाकलनीय होता है।
(v) से परिभाषित फलन
का (0, 0) पर एक चरम मान होता है।
Answer :
Word Count : 247
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नीचे प्रत्येक कथन के लिए सत्य/असत्य तथा संक्षिप्त कारण दिए जा रहे हैं। --- ### (i) [ \lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\sin x}=1 ] असत्य। कारण: [ \frac{x^2\sin(1/x)}{\sin x} = x\cdot \sin(1/x)\cdot \frac{x}{\sin x} ] जब (x\to 0), तब (\frac{x}{\sin x}\to 1), लेकिन (x\sin(1/x)\to 0) क्योंकि (|\sin(1/x)|\le 1)। अतः पूरा मान (0) की ओर जाता है, 1 नहीं। --- ### (ii) तीन चरों वाला एक वास्तविक-मान फलन, जो सर्वत्र सतत है, अवकलनीय होता है। असत्य। कारण: सातत्य
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