) निम्नलिखित त्रिघात कुल लागत फलन लीजिए। यहां यह मान लीजिए कि q की कीमत प्रति एकक 15 है। वह उत्पादन ज्ञात कीजिए जिस पर अधिकतम लाभ प्राप्त होता है।
ख) प्रमुखता लागू करके नीचे दिए गए भुगतान आव्यूह से A और B की इष्टतम युक्तियां ज्ञात कीजिए।
ग) मान लीजिए पिछला पूर्वानुमान 2090 था और पिछली अवधि में विशेष चर का वास्तविक मान 1985 था और इसका सबसे पुराना मान 1955 था। हाल ही में किए गए चार प्रेक्षणों पर आधारित गतिमान औसत तकनीक को लागू करके अगली अवधि के लिए किया गया नया पूर्वानुमान ज्ञात कीजिए।
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वह महामारी निदर्श लीजिए जो आदि प्रतिबंध पर
के अधीन निम्नलिखित अवकल समीकरण द्वारा नियंत्रित है :
$
जहां x(t) समय t पर सुग्राह्य व्यक्तियों की संख्या है, संपर्क दर है। ऐसा मान लिया गया है कि जनसंख्या संवृत्त है और लोग समांग रूप से एक दूसरे के साथ मिल-जुलकर रह रहे हैं। मान लीजिए संपर्क दर 0.002 है और सुग्राह्य व्यक्तियों की संख्या प्रारंभ में 5000 है।
i) जनसंख्या का घनत्व ज्ञात कीजिए जब व्यक्तियों के नए रोगी बनने की दर अधिकतम हो।
ii) वह समय (सप्ताहों में) ज्ञात कीजिए जिसमें व्यक्तियों के नए रोगी बनने की दर अधिकतम हो।
iii) नए रोगी बनने की अधिकतम दर प्राप्त कीजिए।
Consider a one-dimensional growth c(x, t) of phytoplankton in a water mass. Formulate the model describing the dynamics of growth taking into account the following: D, its diffusion coefficient, r its rate of growth, R its mortality rate due to sinking. Fixing the area of interest as and the initial concentration of phytoplankton as
, find the concentration distribution of phytoplankton in
at any time t.
b) When an aeroplane ascends from take-off to an altitude of , by how much does the gravitational attraction acting on it decrease?
एक प्रक्षेप्य को दो अलग-अलग प्रक्षेप कोणों और
पर एक अचर चाल v से इस तरह नियत कर दिया गया कि इससे समान परास प्राप्त हो। दिखाइए कि
ompare the phase diagrams of the systems:
i)
ii)
by locating the equilibrium points and sketching the phase paths.
b) Consider the epidemic model governed by the following equation
with initial condition at
. Here x(t) is the number of susceptibles at time t,
is the contact rate. The population is assumed to be closed and homogeneously mixing. Let the contact rate be 0.002 and the number of susceptibles be 5000 initially
i) Find the density of the population when the rate of appearance of new cases is maximum.
ii) Find the time (in weeks) at which the rate of appearance of new cases is maximum.
iii) Obtain the maximum rate of appearance of new cases.
A monopolist sets a price 'p' per unit and the quantity demanded 'q' is given by the following relation:
Let there be a fixed cost of Rs.9 and a marginal cost of Rs.1 per unit.
i) Write the profit function of monopolist.
ii) For maximum profit, find the number 'x' of units produced. Also find the maximum profit.
iii) A potential entrant enters into the business of the monopolist. He believes that the monopolist will go on making 'x' units. Write the profit function of the entrant.
iv) For maximum profit of entrant, find the number 'z' of units produced.
v) Find the maximum profit of the entrant. Explain whether he should enter into the business or not.
vi) Find the profit made by the monopolist after the entrant has entered into business.
वास्तविक जगत से जुड़ी ऐसी दो समस्याएं बताइए जिनके बारे में आप यह समझते हैं कि केवल गणितीय निदर्शन से ही इन समस्याओं का हल प्राप्त किया जा सकता है। प्रत्येक समस्या के लिए चार अनिवार्य तथ्य भी बताइए। आप ऐसा क्यों समझते हैं कि इन समस्याओं के उपचार के लिए कोई अन्य वैज्ञानिक विकल्प नहीं है?