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Consider the cubic total cost function
Assume that the price of q is 15 per unit. Find the output which yields maximum profit.
b) Apply dominance to find the optimum strategies of A and B from the pay-off matrix given below
| Player B | |||
| u | v | ||
| x |
|
| |
| Player A | y |
|
|
| z |
|
| |
Characterise the following as discrete or continuous giving reasons for your answers.
i) Effects of radiation treatment on a tumour when applied for short period of time but at regular intervals.
ii) Effects of chemotherapy drugs on a tumour when introduced into a patient for a given duration of time.
b) A particle of mass m moves on a straight line towards the centre of attraction, starting from rest at a distance a from the centre. Its velocity at a distance x from the centre varies as . Find the law of force.
c) If a planet was suddenly stopped in its orbit, supposed circular, show that it will fall into the sun in a time which is times the period of the planet’s revolution.
वह महामारी निदर्श लीजिए जो आदि प्रतिबंध पर
के अधीन निम्नलिखित अवकल समीकरण द्वारा नियंत्रित है :
$
जहां x(t) समय t पर सुग्राह्य व्यक्तियों की संख्या है, संपर्क दर है। ऐसा मान लिया गया है कि जनसंख्या संवृत्त है और लोग समांग रूप से एक दूसरे के साथ मिल-जुलकर रह रहे हैं। मान लीजिए संपर्क दर 0.002 है और सुग्राह्य व्यक्तियों की संख्या प्रारंभ में 5000 है।
i) जनसंख्या का घनत्व ज्ञात कीजिए जब व्यक्तियों के नए रोगी बनने की दर अधिकतम हो।
ii) वह समय (सप्ताहों में) ज्ञात कीजिए जिसमें व्यक्तियों के नए रोगी बनने की दर अधिकतम हो।
iii) नए रोगी बनने की अधिकतम दर प्राप्त कीजिए।
एक एकाधिकारी कीमत ‘p’ प्रति इकाई निर्धारित करता है और मांग की गई राशि ‘q’ निम्नलिखित संबंध द्वारा प्राप्त है
मान लीजिए रू० 9 की एक नियत लागत है और रू० 1 प्रति इकाई की उपांतिक लागत है।
i) एकाधिकारी का लाभ फलन लिखिए।
ii) अधिकतम लाभ के लिए उत्पादित इकाइयों की संख्या ‘x’ ज्ञात कीजिए। अधिकतम लाभ भी ज्ञात कीजिए।
iii) एक कार्यक्षम प्रवेशी एकाधिकारी के व्यापार में प्रवेश करता है। उसे यह विश्वास है कि एकाधिकारी ‘x’ इकाइयों का उत्पाद करता रहेगा। इस कार्यक्षम प्रवेशी का लाभ फलन लिखिए।
iv) प्रवेशी के अधिकतम लाभ के लिए उत्पादित इकाइयों की संख्या ‘z’ ज्ञात कीजिए।
v) प्रवेशी का अधिकतम लाभ ज्ञात कीजिए और बताइए कि उसे व्यापार में प्रवेश करना चाहिए या नहीं।
vi) प्रवेशी के व्यापार में प्रवेश करने के बाद एकाधिकारी द्वारा अर्जित किया गया लाभ ज्ञात कीजिए।
वास्तविक जगत से जुड़ी ऐसी दो समस्याएं बताइए जिनके बारे में आप यह समझते हैं कि केवल गणितीय निदर्शन से ही इन समस्याओं का हल प्राप्त किया जा सकता है। प्रत्येक समस्या के लिए चार अनिवार्य तथ्य भी बताइए। आप ऐसा क्यों समझते हैं कि इन समस्याओं के उपचार के लिए कोई अन्य वैज्ञानिक विकल्प नहीं है?
Consider the group of individuals born in a given year () and let n(t) be the number of these individuals surviving t year later. Let x(t) be the number of members of this group who have not had smallpox by year t and are therefore still susceptible. Let
be the rate at which susceptibles contract smallpox and let v be the rate at which people who contract smallpox die from the disease. Finally, let
be the death rate from all causes other than smallpox. If dx / dt and dn / dt are, respectively the rates at which the number of susceptibles and entire population decline due to contraction from smallpox and also due to death from all causes then
i) Formulate the above problem by writing equations for dx / dt and dn / dt.
ii) Taking , show that z satisfies the initial value problem
iii) Find z(t) at any time t.
iv) Bernoulli estimated that . Using these values, determine the proportion of 20 years old who have not had smallpox.
Consider a one-dimensional growth c(x, t) of phytoplankton in a water mass. Formulate the model describing the dynamics of growth taking into account the following: D, its diffusion coefficient, r its rate of growth, R its mortality rate due to sinking. Fixing the area of interest as and the initial concentration of phytoplankton as
, find the concentration distribution of phytoplankton in
at any time t.
b) When an aeroplane ascends from take-off to an altitude of , by how much does the gravitational attraction acting on it decrease?