बोलजनों-वेयरस्ट्रास प्रमेय लिखिए। इसका प्रयोग करके जाँच कीजिए कि समुच्चय  का कोई सीमा-बिंदु है या नहीं। 

 यदि अनंत श्रेणी  अभिसारी है, तो दिखाइए कि  होती है। 

State Bolzano-Weierstrass theorem. Use it to check whether the set:

has a limit point.

गणितीय आगमन का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि प्रथम 'n' प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योगफल  होता है। 

फलन f की  पर असांतत्य के प्रकार की जाँच कीजिए, जहाँ
  है। 

जाँच कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं अथवा असत्य। अपने उत्तर की लघु-व्याख्या या प्रति-उदाहरण द्वारा पुष्टि कीजिए।

(i)  का निषेध  है।
(ii)  गणनीय हैं।
(iii) समीकरण  का एक वास्तविक मूल -2 और 1 के बीच है।
(iv) प्रत्येक वर्धमान अनुक्रम का एक अभिसारी उप-अनुक्रम होता है।
(v) फलन   में एक अपनेय असांतत्य है।
(vi) एक समाकलनीय फलन में असांतत्य के सीमित बिंदु होते है।
(vii) श्रेणी  अपसारी है।
(viii) फलन f, जो , द्वारा परिभाषित है तथा  पर परिभाषित है, का स्थानीय अधिकतम  पर हैं।
(ix) अंतराल [a, b] पर परिभाषित प्रत्येक अचर फलन रीमान समाकलनीय होता है।
(x) फलन  जो  द्वारा परिभाषित है,  पर अवकलनीय है।

सीमाओं पर कौशी का द्वितीय प्रमेय लिखिए। इसे यह प्रदर्शित करने के लिए प्रयोग कीजिए कि  हो।