IGNOU BMTC 133 2026 - गणितीय आगमन का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि प्रथम 'n' प्राकृतिक

Question

गणितीय आगमन का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि प्रथम 'n' प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योगफल $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ होता है।

20 Jan 2026

Answer :

Word Count : 179

प्रथम 'n' प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योगफल सिद्ध करने के लिए गणितीय आगमन (प्रयोग) का उपयोग करते हैं। प्रतिज्ञा (प्रपोजिशन) यह है कि (\displaystyle 1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}) सबसे पहले आधार चरण (base case) पर विचार करें। (n=1) पर बाएँ पक्ष (1^2=1) है और दाएँ पक्ष (\frac{1\cdot2\cdot3}{6}=1) भी है; अतः आधार सत्य है। अब मान लें कि यह कथन किसी (k\ge1) के लिए सत्य है, अर्थात् (\displaystyle 1^2+2^2+\cdots+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}.) यह आगमन का अनुमान

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