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Question:

) जाँच कीजिए कि निम्नलिखित समाकलन स्वतंत्र पथ है और जो स्वतंत्र है उनका मूल्यांकन कीजिए
i) $\int\limits_{(0,0)}^{(3,4)} (6xy - y^3) \, dx + (3x^2 - 3xy^2) \, dy$ .
ii) $\int\limits_{(-1,4)}^{(3,8)} (3x^2 - 2y^2) \, dx - 4xy \, dy$ .
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$
ख) निर्देशांकों का प्रयोग करते हुए $\iiint\limits_{S} z^2 dx \, dy \, dz$ का मूल्यांकन कीजिए जहाँ S गोले $\rho = 1$ और $\rho = 2$ के बीच ठोस प्रदेश है।

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Question:

ध्रुवीय निर्देशांकों का प्रयोग करते हुए दिखाइए कि $\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{x^3 - y^3}{x^2 + y^2} = 0$ है। दो पुनरावृत्ति सीमाएँ ज्ञात कीजिए।
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$
ख) प्रदेश D पर एक समाकल के रूप में $\int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{\sqrt{1 - x^2}} \left( \sqrt{1 - y^2} \right) dy \, dx$ लिखिए। प्रदेश D का चित्र बनाइए और दिखाएं कि यह टाईप 1 और टाईप 2 दोनों है। समाकल के क्रम को उलटिए और इसका मूल्यांकन कीजिए।

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Question:

मान लीजिए कि S और C $\mathbf{R}^3$ के उपसमुच्चय हैं। S मूल–बिन्दु पर केन्द्र वाला एकक विवृत गोलक है तथा C विवृत घन $= \{P(x, y, z) \mid -1 < x < 1, -1 < y < 1, -1 < z < 1\}$ ।
निम्नलिखित में से कौनसा कथन सत्य है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i) $S \subset C$
(ii) $C \subset S$
(ग) निम्नलिखित फलनों के स्तर वक्र ज्ञात कीजिए :
(i) $\sqrt{x^2 + y^2}$
(ii) $\sqrt{4 - x^2 - y^2}$

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Question:

यदि $\lim_{x \to 0} \frac{x(1 + a \cos x) - b \sin x}{x^3} = 1$ तो a और b के मान ज्ञात कीजिए।

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Question:

$\int\limits_{C} (2x^2 + 3y^2) dx$ के मान निकालिए, जहाँ C $x(t) = at^2, y(t) = 2at, 0 \le t \le 1$ से प्राप्त वक्र है।
(ख) द्विशः समाकलन का प्रयोग करके दीर्घवृत्तज
$$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} + \frac{z^2}{16} = 1$ $
का आयतन ज्ञात कीजिए

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Question:

(0,0) पर निम्नलिखित फलन f के सांतत्य और अवकलनीयता की जाँच कीजिए, जहाँ

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(ख) फलन $f(x, y) = \frac{2xy}{x^2 + y^2}$ से परिभाषित फलन f का प्रांत और परिसर ज्ञात कीजिए। इस फलन के दो स्तर वक्र भी ज्ञात कीजिए। (4)

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Question:

ग्रीन प्रमेय का कथन दीजिए और इसकी सहायता से
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जहाँ C, दीर्घवृत्त $4x^{2} + 9y^{2} = 36$ है।
(ख) पृष्ठ $x^{2} + 2y^{2} = 1$ पर फलन $f(x,y) = x^{2} + y$ के चरम मान ज्ञात कीजिए।

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Question:

वक्रों $y = 4x^{2}$ और $x = 4$ से परिबद्ध और $\delta(x,y) = y$ के घनत्व वाले एक पतली शीट का गुरुत्व केन्द्र ज्ञात कीजिए।
(ख) $z = 1$ और $z = x^{2} + y^{2}$ से परिबद्ध ठोस घनाकृति का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, जबकि घनत्व फलन, $\delta(x,y,z) = |x|$ हो।

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Question:

मान लीजिए
$$f(x, y) = \begin{cases} \frac{3x^2 y^4}{x^4 + y^8}, & (x, y) \neq (0,0) \\ 0, & (x, y) = (0,0) \end{cases}$ $
दिखाइए कि (0,0) पर सभी दिशाओं में f दिक् अवकलज होते हैं।
(ख) मान लीजिए $x = e^r \cos \theta, y = e^r \sin \theta$ और f, x और y का एक संततः अवकलनीय फलन है जिसके आंशिक अवकलज भी संततः अवकलनीय हैं। दिखाइए कि
$$\frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} = (x^2 + y^2) \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \right)$ $
(ग) मान लीजिए $a = (1, 2, 3), b = (-5, 3, -2), c = (2, -4, 1), \mathbf{R}^3$ के तीन बिन्दु हैं।
|2b - a + 3c| ज्ञात कीजिए।

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Question:

केवल परिभाषाओं को लागू करके f_xy(0, 0) और f_yx(0, 0) ज्ञात कीजिए, जबकि फलन

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के लिए इनका अस्तित्व होता हो।

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Question:

निम्नलिखित सीमा ज्ञात कीजिए :
(i) $\quad \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2}{8x^2 - 3} \right)^{1/3}$
(ii) $\quad \lim_{x \to 0^+} (\sin x)^{\sin x}$

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Question:

बताइए निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तरों के कारण बताइए। (10)
(i) $\quad \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{\sin x} = 1$
(ii) $\quad$ तीन चरों वाला एक वास्तविक-मान फलन, जो सर्वत्र सतत है, अवकलनीय होता है।
(iii) $\quad F(x, y) = (y + 2, x + y)$ से परिभाषित फलन $F: \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R}^2$ किसी भी बिन्दु $(x, y) \in \mathbf{R}^2$ पर स्थानिकतः व्युत्क्रमणीय होता है।
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$\quad\quad$ से परिभाषित फलन $f: [-1,1] \times [-2,2] \to \mathbf{R}$ समाकलनीय होता है।
(v) $\quad f(x, y) = 1 - y^2 + x^2$ से परिभाषित फलन $f: \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R}$ का (0, 0) पर एक चरम मान होता है।

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Question:

प्राचल विचरण विधि से निम्नलिखित अवकल समीकरण: $y'' - 2y' + y = \frac{12e^x}{x^3}$ को हल कीजिए। $\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$

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Question:

हल कीजिए : $(D^2 - DD' - 2D) z = \sin(3x + 4y) + e^{2x+y}.$ $\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$

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Question:

हल कीजिए : $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + y + 1}.$ $\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$ (2)

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Question:

चार्पिट विधि द्वारा समीकरण $(p + q)(px + qy) = 1$ का हल प्राप्त कीजिए। $\quad\quad\quad\quad\quad$

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Question:

प्राचल विचरण विधि द्वारा समीकरण
$$\frac{d^2y}{dx^2} + a^2 y = \sec ax$ $
का हल प्राप्त कीजिए। $\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$