IGNOU BMTC 102 2026 - ध्रुवीय निर्देशांकों का प्रयोग करते हुए दिखाइए कि है। दो पु

Question

ध्रुवीय निर्देशांकों का प्रयोग करते हुए दिखाइए कि $\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{x^3 - y^3}{x^2 + y^2} = 0$ है। दो पुनरावृत्ति सीमाएँ ज्ञात कीजिए।
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ख) प्रदेश D पर एक समाकल के रूप में $\int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{\sqrt{1 - x^2}} \left( \sqrt{1 - y^2} \right) dy \, dx$ लिखिए। प्रदेश D का चित्र बनाइए और दिखाएं कि यह टाईप 1 और टाईप 2 दोनों है। समाकल के क्रम को उलटिए और इसका मूल्यांकन कीजिए।

09 Jan 2026

Answer :

Word Count : 515

हम पहले प्रश्न खंड ख) को क्रमबद्ध रूप से हल करते हैं। --- (क) ध्रुवीय निर्देशांकों का प्रयोग करते हुए सीमा ज्ञात करना दी गई सीमा है: [ \lim_{\substack{x \to 0 \ y \to 0}} \frac{x^3 - y^3}{x^2 + y^2} ] ध्रुवीय निर्देशांक में, हम लेते हैं: [ x = r \cos\theta, \quad y = r \sin\theta, \quad r \to 0 ] तो भिन्नक (numerator) और हर (denominator) को लिखते हैं: [ x^3 - y^3 = (r \cos\theta)^3 - (r \sin\theta)^3 = r^3 (\cos^3\theta - \sin^3\theta) ] [ x^2 + y^2 = (r \cos\theta)^2 + (r \sin\theta)^2 = r^2 (\cos^2\theta + \sin^2\theta) = r^2 ] इसलिए सीमा बनती है: [ \frac{x^3 - y^3}{x^2 + y^2} = \frac{r^3 (\cos^3\theta - \sin^3\theta)}{r^2} = r (\cos^3\theta - \sin^3\theta) ] जब ( r \to 0 ), ( r (\cos^3\theta - \sin^3\theta) \to 0 ) क्योंकि (\cos^3\theta - \sin^3\theta) पर कोई निर्भरता नहीं है, और (r) शून्य की ओर जाता है। इसलिए: [ \lim_{\substack{x \to 0 \ y \to 0}} \frac{x^3 - y^3}{x^2 + y^2} = 0 ] दो पुनरावृत्ति सीमाएँ: 1. ( y = 0 ) पर ( x \to 0 ): [ \lim_{x \to 0} \frac{x^3 - 0}{x^2 + 0} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^2} = \lim_{x \to 0}

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