प्रारम्भिक प्रतिबंधों  के साथ, पुनरावृत्ति संबंध  का जनक फलन ज्ञात कीजिए।

120 लोगों के एक सर्वेक्षण में निम्नलिखित आंकड़े प्राप्त हुए:

90 लोगों के पास कार है, 35 के पास कंप्यूटर है, 40 के पास घर है, 32 के पास घर और कार दोनों हैं, 21 के पास घर और कंप्यूटर दोनों हैं, 26 के पास कार और कंप्यूटर दोनों हैं, और 17 लोगों के पास ये तीनों सुविधाएँ हैं।

i) कितने लोगों के पास इन तीनों में से कोई भी सुविधा नहीं है?

ii) कितने लोगों के पास केवल कार है?

iii) कितने लोगों के पास केवल कंप्यूटर है? 

0 से 999 (0 और 999 दोनों को शामिल करके) तक की संख्याओं में से कितनी संख्याएँ 7 या 11 से विभाजित नहीं होती हैं?

विलय शाटन कलन-विधि की काल जटिलता ज्ञात कीजिए। 

सर्वसमिका

को जनक फलनों के प्रयोग से हल कीजिए। 

अचर गुणांकों वाले एक रैखिक समघात पुनरावृत्ति संबंध का व्यापक हल ज्ञात कीजिए जिसके अभिलक्षणिक मूल 4, -2 और 3 हैं, और बहुकताएँ क्रमशः 2, 1, और 3 हैं। संबंध का एक असमघात भाग भी है जो 3ⁿ और 4ⁿ का एकघात संचय है। 

व्यंजक  को सर्वनिष्ठ प्रसामान्य समघात और सम्मिलन प्रसामान्य समघात के रूप में लिखिए। 

किन्हीं भी प्राकृतिक संख्याओं n और k के लिए, सिद्ध कीजिए कि  होता है। 

 एक ऐसी कलन-विधि लिखिए जो किन्हीं दो दी हुई संख्याओं p और q, जहाँ , के बीच के सभी विषम पूर्णांकों के वर्गों का योगफल ज्ञात करती है। 

एक पासा दो बार फेंका जाता है, और उस पर आने वाली संख्याओं के योगफल का अवलोकन किया जाता है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि यह योगफल या तो एक पूर्ण वर्ग है या एक पूर्ण घन है? 

यदि 2 सेमी. भुजा वाले एक वर्ग में 5 बिंदु चुने जाते हैं, तो दिखाइए कि इनमें से दो बिंदु ऐसे हमेशा होंगे जिनके बीच की दूरी अधिकतम  सेमी. होगी। 

एक बैंक आपको 4.5% प्रति वर्ष ब्याज देता है। इसके अतिरिक्त, (ब्याज के भुगतान के बाद) आपको वर्ष के अंत में 100/- रुपए का बोनस मिलता है। यदि आपने 2000 रुपए निवेश किए हैं तो आपको n वर्ष के उपरांत मिलने वाली धनराशि के लिए एक पुनरावृत्ति संबंध बनाइए। 

 यदि पुनरावृत्ति संबंध  का हल  है , तो  और f(n) के मान ज्ञात कीजिए। 

 निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन का विलोम लिखिए: 

i) यदि p एक अभाज्य संख्या है, और a और b दो प्राकृतिक संख्याएँ हैं, और p, a या b  को विभाजित करता है , तो p, ab को विभाजित करता है।

ii) एक त्रिभुज  में, यदि  है, तो  होगा।

 4 लाल और 8 हरी गेंदों वाले एक बस्ते से 2 हरी और 3 लाल गेंदें चुनने की प्रायिकता क्या है ? 

यदि p और q कोई भी कथन हैं, तो दर्शाइए कि कथन  एक सर्वसत्य कथन है। 

कथनों '2+3=5' और 'सूरज पश्चिम में उगता है।' पर विचार कीजिए। 

i) कथनों का वियोजन लिखिए और इसका सत्य मान बताइए।

ii) कथनों का योग लिखिए और इसका सत्य मान बताइए।

iii) कथनों का अपवर्जी वियोजन लिखिए और इसका सत्य मान बताइए।

जाँच कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तरों की पुष्टि एक लघु उपपत्ति या प्रतिउदाहरण देकर कीजिए। (20)
i) "x² + y² - 3, 4 से विभाज्य नहीं है।" एक गणितीय कथन है।
ii)  से  पर आच्छादित फलनों की संख्या 4! S₆⁴ है।
iii) किसी अनुक्रम का जनक फलन कभी भी एक बहुपद नहीं हो सकता।
iv)  है।
v) निकृष्टतम स्थिति में, वरणात्मक शाटन प्रविष्टि शाटन से तीव्र होता है।
vi) , जहाँ n, 2 का घात है, एक रैखिक पुनरावृत्ति संबंध है।
vii) अनुक्रम  का जनक फलन (1 - z)^-2 है।
viii) यदि  का जनक फलन है, तो (1 - x)g(x) अनुक्रम  का जनक फलन है, जहाँ सभी  के लिए  है।
ix) 10 के उन विभाजनों की संख्या जिनमें कोई भी भाग 5 से बड़ा नहीं है, Q₁₀⁵ है।
x) समीकरण  के धन पूर्णांक हलों की संख्या  है।

 If an infinite series  converges, then show that .

 Let f be a differentiable function whose derivative never vanishes on [a, b]. Show that f is either strictly increasing or strictly decreasing.