मान लीजिए कि R एक क्रमविनिमेय तत्समकी वलय है और . समाकारिता के मूल प्रमेय का प्रयोग करते हुए, सिद्ध कीजिए कि

.
इस तरह, दर्शाइए कि 

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं? अपने उत्तरों की पुष्टि कीजिए। (इसका अर्थ है कि यदि आप सोचते हैं कि कोई कथन असत्य है, तो एक संक्षिप्त उपपत्ति या एक उदाहरण ऐसा दीजिए जो उसे असत्य दर्शाए। यदि यह एक सत्य कथन है, तो ऐसा कहने के लिए एक संक्षिप्त उपपत्ति दीजिए।)
i) , जहाँ  ऑयलर-फ़ाई फलन है।
ii) यदि G₁ और G₂ समूह हैं, तथा  एक समूह समाकारिता है, तो  होगा।
iii) यदि G एक आबेली समूह है, तो G चक्रीय होगा।
iv) यदि G एक समूह है तथा , तो  होता है।
v) S_n के प्रत्येक अवयव की कोटि ज़्यादा से ज़्यादा n होती है।
vi) यदि R एक वलय है तथा R की एक गुणजावली I है, तो  और ।
vii) यदि  सम संख्या में असंयुक्त चक्रों का गुणनफल है, तो  होता है।
viii) यदि किसी वलय का एक मात्रक है, तो उसका केवल एक ही मात्रक होता है।
ix) परिमित क्षेत्र का अभिलाक्षणिक शून्य होता है।
x) [0, 1] से  तक असंतत फलनों का समुच्चय बिंदुशः योग और गुणन के सापेक्ष एक वलय होता है।

दर्शाइए कि R/M एक क्षेत्र है, तथा इस क्षेत्र के दो अलग-अलग शून्येतर अवयव दीजिए।

Check whether or not  is a subgroup of

i) ,       ii) 

Prove that  as rings. 

 Find all the units of .  Let R be a commutative ring with unity and . Prove that  using the Fundamental Theorem of Homomorphism. Hence show that . 

Explicitly give the elements and structure of the group S_n / A_n, .