निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं? अपने उत्तरों की पुष्टि कीजिए। (इसका अर्थ है कि यदि आप सोचते हैं कि कोई कथन असत्य है, तो एक संक्षिप्त उपपत्ति या एक उदाहरण ऐसा दीजिए जो उसे असत्य दर्शाए। यदि यह एक सत्य कथन है, तो ऐसा कहने के लिए एक संक्षिप्त उपपत्ति दीजिए।)
i) , जहाँ  ऑयलर-फ़ाई फलन है।
ii) यदि G₁ और G₂ समूह हैं, तथा  एक समूह समाकारिता है, तो  होगा।
iii) यदि G एक आबेली समूह है, तो G चक्रीय होगा।
iv) यदि G एक समूह है तथा , तो  होता है।
v) S_n के प्रत्येक अवयव की कोटि ज़्यादा से ज़्यादा n होती है।
vi) यदि R एक वलय है तथा R की एक गुणजावली I है, तो  और ।
vii) यदि  सम संख्या में असंयुक्त चक्रों का गुणनफल है, तो  होता है।
viii) यदि किसी वलय का एक मात्रक है, तो उसका केवल एक ही मात्रक होता है।
ix) परिमित क्षेत्र का अभिलाक्षणिक शून्य होता है।
x) [0, 1] से  तक असंतत फलनों का समुच्चय बिंदुशः योग और गुणन के सापेक्ष एक वलय होता है।

मान लीजिए कि G कोटि 56 का एक समूह है। इसके सभी सीलो p-उपसमूह क्या होंगे? दर्शाइए कि G सरल नहीं है, अर्थात् G का एक उचित प्रसामान्य अतुच्छ उपसमूह अवश्य ही होना चाहिए। 

 समूह , के अवयवों और इसकी संरचना को स्पष्ट रूप में दीजिए। 

 एक ऐसा समूह G तथा G की एक ऐसी समाकारिता  ज्ञात कीजिए, जिससे कि  हो तथा  हो। क्या G आबेली होगा? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए। 

 Prove that  and .

 Check whether (X, ) is a group or not.

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(ग) मान लीजिए कि G कोटि  वाला एक समूह है, जिसके केवल दो उपसमूह हैं -  और स्वयं G. G के लिए एक अल्पिष्ठ जनक समुच्चय ज्ञात कीजिए। साथ ही, यह भी ज्ञात कीजिए कि क्या n एक अभाज्य संख्या है, या भाज्य संख्या है, या दोनों में से कोई भी हो सकती है।