क) दर्शाइए कि .
ख) मान लीजिए कि . दर्शाइए कि
.
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समीकरण के साधक त्रिघाती देकार्त की विधि तथा फ़ेरारी की विधि द्वारा प्राप्त कीजिए। क्या दोनों त्रिघाती समान हैं? साथ ही, इनमें से किसी एक विधि द्वारा इस समीकरण के मूल प्राप्त कीजिए।
) प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग करते हुए, निम्नलिखित के में हल समुच्चय प्राप्त कीजिए:
i)
ii)
iii)
अपने इग्नू अध्ययन के संदर्भ में निम्नलिखित दीजिए :
i) निहितार्थ का एक उदाहरण;
ii) उपरोक्त (i) में दिए गए अपने कथन का विलोम;
iii) उपरोक्त (i) में दिए गए अपने कथन का प्रतिधनात्मक;
iv) का प्रयोग करते हुए एक कथन;
v) का प्रयोग करते हुए एक कथन;
Using the discriminant, give the nature of the roots of . Also solve the equation.
b) Find the cubic equation whose roots are the cubes of the roots of .
c) Obtain the resolvent cubics, by Descartes’ method and by Ferrari’s method, of the equation . Are the cubics the same? Further, use either method to obtain the roots of this equation.
निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं? अपने उत्तरों की पुष्टि कीजिए। (इसका अर्थ है कि यदि आप सोचते हैं कि कोई कथन असत्य है, तो एक संक्षिप्त उपपत्ति या एक उदाहरण ऐसा दीजिए जो उसे असत्य दर्शाए। यदि यह एक सत्य कथन है तो ऐसा कहने के लिए एक संक्षिप्त उपपत्ति दीजिए। उदाहरण के लिए, यह दर्शाने के लिए कि '{1, पदमा, नीला} एक समुच्चय है' एक सत्य कथन है, आपको यह कहने की आवश्यकता है कि यह सत्य है, क्योंकि यह तीन वस्तुओं का एक सुपरिभाषित संग्रह है।)
i) ,
और
में से z के निराकरण से
प्राप्त होता है।
ii) के मूल
द्वारा दिए जाते हैं।
iii) .
iv) में कोई भी n धनात्मक संख्या हों, तो उनके हरात्मक माध्य और समांतर माध्य का गुणनफल 1 होता है।
v) यदि A और B दो ऐसे समुच्चय हैं कि रिक्त समुच्चय है, तो या तो
या
होगा।
vi) किन्हीं के लिए।
vii) समुच्चय का ज्यामितीय निरूपण एक बिंदु होता है।
viii) कोई भी परिमित समुच्चय का एक उपसमुच्चय होता है।
ix) प्रत्येक चतुर्थांत समीकरण का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है।
x) कथन 'एम.टी.ई-04 के प्रत्येक विद्यार्थी ने एफ.एस.डी-01 पूरा कर लिया है', का विलोम है 'FST-01 के प्रत्येक विद्यार्थी ने एम टी ई-04 पूरा कर लिया है' ।
एक आव्यूह;