उपयुक्त प्रति उदाहरण देकर इस कथन को असिद्ध कीजिए:
प्रत्येक तथा
के लिए
है।
_____ ___ _________ ________ ____ ____ ________ _______ _____.
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________ _____ _____ _______ _____ ________ _______ ____ ____ ____.
__________ ______ _______ _______ ___ ___.
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Prove that .
जाँच कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं अथवा असत्य। अपने उत्तर की लघु-व्याख्या या प्रति-उदाहरण द्वारा पुष्टि कीजिए।
(i) का निषेध
है।
(ii) गणनीय हैं।
(iii) समीकरण का एक वास्तविक मूल -2 और 1 के बीच है।
(iv) प्रत्येक वर्धमान अनुक्रम का एक अभिसारी उप-अनुक्रम होता है।
(v) फलन में एक अपनेय असांतत्य है।
(vi) एक समाकलनीय फलन में असांतत्य के सीमित बिंदु होते है।
(vii) श्रेणी अपसारी है।
(viii) फलन f, जो , द्वारा परिभाषित है तथा
पर परिभाषित है, का स्थानीय अधिकतम
पर हैं।
(ix) अंतराल [a, b] पर परिभाषित प्रत्येक अचर फलन रीमान समाकलनीय होता है।
(x) फलन जो
द्वारा परिभाषित है,
पर अवकलनीय है।
श्रेणी , की अभिसरण त्रिज्या ज्ञात कीजिए। जहाँ
है।
जाँच कीजिए कि निम्नलिखित समुच्चय विवृत हैं या संवृत हैं अथवा न तो विवृत हैं और न ही संवृत।
i.
ii.
Prove that every convergent sequence is Cauchy.
Show that the set:
is not closed.
Examine the type of discontinuity of the function at where