जाँच कीजिए कि निम्नलिखित समुच्चय विवृत हैं या संवृत हैं अथवा न तो विवृत हैं और न ही संवृत।
i.
ii.
______ _____ _____ _________ _________ ___ ____ _____ ________ __________.
________ _____ _______ ___ ____ ________ _____ _____.
____ _______ _____ ____ ___ _______ _____ ___ ____.
___ _____ ____ ____ _________ __________.
_______ ____ _____ ____ ____ _________ _____.
__________ _________ ________ ______ ______ ____ ______ __________ __________ ___ ________ _______.
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निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए एक - एक उदाहरण दीजिए। अपने उत्तर का कारण बताइए।
i. एक ऐसा समुच्चय जो न तो विवृत है और न संवृत है।
ii. एक ऐसा समुच्चय जिसका कोई सीमा बिंदु नहीं है।
उपयुक्त प्रति उदाहरण देकर इस कथन को असिद्ध कीजिए:
प्रत्येक तथा
के लिए
है।
Disprove the statement:
by providing a suitable counter-example.
Check whether the following sets are open or closed or neither:
(i)
(ii)
State whether the following statements are true or false. Justify your answers with a short proof or a counterexample.
i) The negation of is
.
ii) is countable.
iii) The equation has a real root between -2 and 1.
iv) Every increasing sequence has a convergent subsequence.
v) The function defined as
has a removable discontinuity.
vi) An integrable function can have finitely many points of discontinuity.
vii) The series is divergent.
viii) The function f defined by , has local maximum at
.
ix) Every constant function on [a, b] is Riemann Integrable.
x) The function defined by
is differentiable at
.
Check whether the set of integers is countable or not.
श्रेणी के अभिसरण की जाँच कीजिए।