IGNOU BMTC 134 SOLVED ASSIGNMENT HINDI

Ques 1.

. निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य हैं? अपने उत्तरों की पुष्टि कीजिए।
i) यदि एक समूह G अपने किसी उचित उपसमूह के तुल्याकारी है, तो ।
ii) यदि x और y एक अना-बेली समूह (G, ) के ऐसे अवयव हैं जिनके लिए , तो  या , जहाँ e, के सापेक्ष G का तत्समक है।
iii) अभाज्य कोटि वाला एक और केवल एक अनाबेली समूह है।
iv) यदि , जहाँ A एक समूह है, तो ।
v) यदि H और K समूह G के प्रसामान्य उपसमूह हैं, तो ।

Ques 2.

सिद्ध कीजिए कि चक्रीय समूह के प्रत्येक अतुच्छ उपसमूह का परिमित सूचकांक होता है। इस तरह सिद्ध कीजिए कि  चक्रीय नहीं है

Ques 3.

  या H अपरिमित है;

Ques 4.

यदि , तो o(g) अपरिमित है। 

Ques 5.

सिद्ध कीजिए कि केवल एक जनक वाले चक्रीय समूह के अधिक से अधिक 2 अवयव हो सकते हैं। 

Ques 6.

केली प्रमेय की सहायता से एक ऐसा क्रमचय समूह ज्ञात कीजिए जो कि कोटि 12 वाले चक्रीय समूह के तुल्याकारी हो।

Ques 7.

 मान लीजिए S₁₀ में  एक नियत विषम क्रमचय है। दिखाइए कि S₁₀ का प्रत्येक विषम क्रमचय  और A₁₀ के किसी क्रमचय का गुणनफल है।

Ques 8.

 यदि D₁₀ में r एक परावर्तन है, तो D₁₀ में  के दो अलग-अलग सहसमुच्चय दीजिए। 

Ques 9.

वह न्यूनतम  दीजिए जिसके लिए A_n अनाबेली है। अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए। 

Ques 10.

 समूह समाकारिता के मूल प्रमेय की सहायता से निम्नलिखित प्रमेय, जिसे ज़ासनहाउस (तितली) प्रमेयिका कहा जाता है, को सिद्ध कीजिए।

यहाँ चित्र में दिए गए टेक्स्ट का लिखित रूप है:
मान लीजिए H और K समूह G के उपसमूह हैं और H' और K', H और K के प्रसामान्य उपसमूह हैं। तब
i) ,
ii) ,
iii) 

Ques 11.

निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य हैं और कौन-से असत्य हैं? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए। 
i) किसी भी वलय R और  के लिए, ।
ii) किसी भी वलय में कम-से-कम दो अवयव होते हैं।
iii) यदि R एक तत्समकी वलय है और I, R की एक गुणजावली है, तो R/I का तत्समक वही होता है जो कि R का तत्समक है।
iv) यदि  एक वलय समाकारिता है, तो यह (R, +) से (S, +) तक एक समूह समाकारिता है।
v) यदि R एक वलय है, तो  से R तक कोई भी वलय समाकारिता आच्छादक होता है।

Ques 12.

 क) क्रमविनिमेय वलय R की गुणजावली I के लिए,
, किसी  के लिए परिभाषित कीजिए। दिखाइए कि

यहाँ चित्र में दिए गए टेक्स्ट का लिखित रूप है:
i)  की एक गुणजावली है।
ii) .
iii)  कुछ स्थितियों में ।  
ख)  क्या वलय R की कोई भी दो गुणजावलियों I और J के लिए,  ? अपने
 उत्तर की पुष्टि कीजिए।  (5)

Ques 13.

 Which of the following statements are true? Give reasons for your answers. 
i) If a group G is isomorphic to one of its proper subgroups, then .
ii) If x and y are elements of a non-abelian group (G, ) such that , then  or , where e is the identity of G with respect to $$.
iii) There exists a unique non-abelian group of prime order.
iv) If , where A is a group, then .
v) If H and K are normal subgroups of a group G, then .

Ques 14.

Prove that every non-trivial subgroup of a cyclic group has finite index. Hence prove that  is not cyclic. 

Ques 15.

 Prove that every non-trivial subgroup of a cyclic group has finite index. Hence prove that  is not cyclic. 

Ques 16.

Prove that a cyclic group with only one generator can have at most 2 elements.

Ques 17.

Using Cayley’s theorem, find the permutation group to which a cyclic group of order 12 is isomorphic.

Ques 18.

 Let  be a fixed odd permutation in S₁₀. Show that every odd permutation in S₁₀ is a product of  and some permutation in A₁₀.

Ques 19.

 List two distinct cosets of  in D₁₀, where r is a reflection in D₁₀. 

Ques 20.

 Give the smallest  for which A_n is non-abelian. Justify your answer. 

Ques 21.

 Use the Fundamental Theorem of Homomorphism for Groups to prove the following theorem, which is called the Zassenhaus (Butterfly) Lemma:
Let H and K be subgroups of a group G and H' and K' be normal subgroups of H and K, respectively. Then
i) 
ii) 

iii)   
The situation can be represented by the subgroup diagram below, which explains the name ‘butterfly’.

PART-B (MM: 30 Marks)
(Based on Block 3.)

Ques 22.

Which of the following statements are true, and which are false? Give reasons for your answers. 
i) For any ring R and .
ii) Every ring has at least two elements.
iii) If R is a ring with identity and I is an ideal of R, then the identity of R/I is the same as the identity of R.
iv) If  is a ring homomorphism, then it is a group homomorphism from (R, +) to (S, +).
v) If R is a ring, then any ring homomorphism from  into R is surjective.

Ques 23.

For an ideal I of a commutative ring R, define
. Show that
i)  is an ideal of R.
ii) .
iii)  in some cases. 

Ques 24.

 Is , for any two ideals I and J of a ring R? Give reasons for your answer. 

Ques 25.

 Is , for any two ideals I and J of a ring R? Give reasons for your answer.  Let S be a set, R a ring and f be a 1-1 mapping of S onto R. Define + and  on S by:


.
Show that  is a ring isomorphic to R.  
 

Ques 26.

. Which of the following statements are true, and which are false? Give reasons for your answers.  
i) If k is a field, then so is .
ii) If R is an integral domain and I is an ideal of R, then .
iii) In a domain, every prime ideal is a maximal ideal.
iv) If R is a ring with zero divisors, and S is a subring of R, then S has zero divisors.
v) If R is a ring and  is of degree , then f(x) has exactly n roots in R.

Ques 27.

 Find all the units of .  

Ques 28.

 Find all the units of .   Check whether or not  is a field.  

Ques 29.

 Construct a field with 125 elements.  

Ques 30.

. निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य हैं? अपने उत्तरों की पुष्टि कीजिए।
i) यदि एक समूह G अपने किसी उचित उपसमूह के तुल्याकारी है, तो ।
ii) यदि x और y एक अना-बेली समूह (G, ) के ऐसे अवयव हैं जिनके लिए , तो  या , जहाँ e, के सापेक्ष G का तत्समक है।
iii) अभाज्य कोटि वाला एक और केवल एक अनाबेली समूह है।
iv) यदि , जहाँ A एक समूह है, तो ।
v) यदि H और K समूह G के प्रसामान्य उपसमूह हैं, तो ।

Ques 31.

सिद्ध कीजिए कि चक्रीय समूह के प्रत्येक अतुच्छ उपसमूह का परिमित सूचकांक होता है। इस तरह सिद्ध कीजिए कि  चक्रीय नहीं है

Ques 32.

  या H अपरिमित है;

Ques 33.

यदि , तो o(g) अपरिमित है। 

Ques 34.

सिद्ध कीजिए कि केवल एक जनक वाले चक्रीय समूह के अधिक से अधिक 2 अवयव हो सकते हैं। 

Ques 35.

केली प्रमेय की सहायता से एक ऐसा क्रमचय समूह ज्ञात कीजिए जो कि कोटि 12 वाले चक्रीय समूह के तुल्याकारी हो।

Ques 36.

 मान लीजिए S₁₀ में  एक नियत विषम क्रमचय है। दिखाइए कि S₁₀ का प्रत्येक विषम क्रमचय  और A₁₀ के किसी क्रमचय का गुणनफल है।

Ques 37.

 यदि D₁₀ में r एक परावर्तन है, तो D₁₀ में  के दो अलग-अलग सहसमुच्चय दीजिए। 

Ques 38.

वह न्यूनतम  दीजिए जिसके लिए A_n अनाबेली है। अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए। 

Ques 39.

 समूह समाकारिता के मूल प्रमेय की सहायता से निम्नलिखित प्रमेय, जिसे ज़ासनहाउस (तितली) प्रमेयिका कहा जाता है, को सिद्ध कीजिए।

यहाँ चित्र में दिए गए टेक्स्ट का लिखित रूप है:
मान लीजिए H और K समूह G के उपसमूह हैं और H' और K', H और K के प्रसामान्य उपसमूह हैं। तब
i) ,
ii) ,
iii) 

Ques 40.

निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य हैं और कौन-से असत्य हैं? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए। 
i) किसी भी वलय R और  के लिए, ।
ii) किसी भी वलय में कम-से-कम दो अवयव होते हैं।
iii) यदि R एक तत्समकी वलय है और I, R की एक गुणजावली है, तो R/I का तत्समक वही होता है जो कि R का तत्समक है।
iv) यदि  एक वलय समाकारिता है, तो यह (R, +) से (S, +) तक एक समूह समाकारिता है।
v) यदि R एक वलय है, तो  से R तक कोई भी वलय समाकारिता आच्छादक होता है।

Ques 41.

 क) क्रमविनिमेय वलय R की गुणजावली I के लिए,
, किसी  के लिए परिभाषित कीजिए। दिखाइए कि

यहाँ चित्र में दिए गए टेक्स्ट का लिखित रूप है:
i)  की एक गुणजावली है।
ii) .
iii)  कुछ स्थितियों में ।  
ख)  क्या वलय R की कोई भी दो गुणजावलियों I और J के लिए,  ? अपने
 उत्तर की पुष्टि कीजिए।  (5)

Ques 42.

 Which of the following statements are true? Give reasons for your answers. 
i) If a group G is isomorphic to one of its proper subgroups, then .
ii) If x and y are elements of a non-abelian group (G, ) such that , then  or , where e is the identity of G with respect to $$.
iii) There exists a unique non-abelian group of prime order.
iv) If , where A is a group, then .
v) If H and K are normal subgroups of a group G, then .

Ques 43.

Prove that every non-trivial subgroup of a cyclic group has finite index. Hence prove that  is not cyclic. 

Ques 44.

 Prove that every non-trivial subgroup of a cyclic group has finite index. Hence prove that  is not cyclic. 

Ques 45.

Prove that a cyclic group with only one generator can have at most 2 elements.

Ques 46.

Using Cayley’s theorem, find the permutation group to which a cyclic group of order 12 is isomorphic.

Ques 47.

 Let  be a fixed odd permutation in S₁₀. Show that every odd permutation in S₁₀ is a product of  and some permutation in A₁₀.

Ques 48.

 List two distinct cosets of  in D₁₀, where r is a reflection in D₁₀. 

Ques 49.

 Give the smallest  for which A_n is non-abelian. Justify your answer. 

Ques 50.

 Use the Fundamental Theorem of Homomorphism for Groups to prove the following theorem, which is called the Zassenhaus (Butterfly) Lemma:
Let H and K be subgroups of a group G and H' and K' be normal subgroups of H and K, respectively. Then
i) 
ii) 

iii)   
The situation can be represented by the subgroup diagram below, which explains the name ‘butterfly’.

PART-B (MM: 30 Marks)
(Based on Block 3.)

Ques 51.

Which of the following statements are true, and which are false? Give reasons for your answers. 
i) For any ring R and .
ii) Every ring has at least two elements.
iii) If R is a ring with identity and I is an ideal of R, then the identity of R/I is the same as the identity of R.
iv) If  is a ring homomorphism, then it is a group homomorphism from (R, +) to (S, +).
v) If R is a ring, then any ring homomorphism from  into R is surjective.

Ques 52.

For an ideal I of a commutative ring R, define
. Show that
i)  is an ideal of R.
ii) .
iii)  in some cases. 

Ques 53.

 Is , for any two ideals I and J of a ring R? Give reasons for your answer. 

Ques 54.

 Is , for any two ideals I and J of a ring R? Give reasons for your answer.  Let S be a set, R a ring and f be a 1-1 mapping of S onto R. Define + and  on S by:


.
Show that  is a ring isomorphic to R.  
 

Ques 55.

. Which of the following statements are true, and which are false? Give reasons for your answers.  
i) If k is a field, then so is .
ii) If R is an integral domain and I is an ideal of R, then .
iii) In a domain, every prime ideal is a maximal ideal.
iv) If R is a ring with zero divisors, and S is a subring of R, then S has zero divisors.
v) If R is a ring and  is of degree , then f(x) has exactly n roots in R.

Ques 56.

 Find all the units of .  

Ques 57.

 Find all the units of .   Check whether or not  is a field.  

Ques 58.

 Construct a field with 125 elements.  

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