Write down the converse of each of the following statements:
i. If p is a prime number and a and b are any two natural numbers and if p divides a or b, then p divides ab.
ii. In a triangle , if
, then
.
__________ _______ _________ __________ __________ ____ __________ __________ ____ ____ ______ ___.
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______ ____ ________ __________ _______.
_______ _____ __________ ____ _______.
__________ ______ _____ __________ _________ ________.
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यदि 2 सेमी. भुजा वाले एक वर्ग में 5 बिंदु चुने जाते हैं, तो दिखाइए कि इनमें से दो बिंदु ऐसे हमेशा होंगे जिनके बीच की दूरी अधिकतम सेमी. होगी।
एक पासा दो बार फेंका जाता है, और उस पर आने वाली संख्याओं के योगफल का अवलोकन किया जाता है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि यह योगफल या तो एक पूर्ण वर्ग है या एक पूर्ण घन है?
4 लाल और 8 हरी गेंदों वाले एक बस्ते से 2 हरी और 3 लाल गेंदें चुनने की प्रायिकता क्या है ?
Find the general form of the solution to a linear homogeneous recurrence relation with constant coefficients for which the characteristic roots are 4, -2 and 3 with multiplicities 2, 1 and 3, respectively. The relation also has a non-homogeneous part which is a linear combination of 3n and 4n.
If the solution of the recurrence relation is
, then determine the values of
and f(n).
Use generating function to prove the identity
जाँच कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तरों की पुष्टि एक लघु उपपत्ति या प्रतिउदाहरण देकर कीजिए। (20)
i) "x2 + y2 - 3, 4 से विभाज्य नहीं है।" एक गणितीय कथन है।
ii) से
पर आच्छादित फलनों की संख्या 4! S64 है।
iii) किसी अनुक्रम का जनक फलन कभी भी एक बहुपद नहीं हो सकता।
iv) है।
v) निकृष्टतम स्थिति में, वरणात्मक शाटन प्रविष्टि शाटन से तीव्र होता है।
vi) , जहाँ n, 2 का घात है, एक रैखिक पुनरावृत्ति संबंध है।
vii) अनुक्रम का जनक फलन (1 - z)-2 है।
viii) यदि का जनक फलन है, तो (1 - x)g(x) अनुक्रम
का जनक फलन है, जहाँ सभी
के लिए
है।
ix) 10 के उन विभाजनों की संख्या जिनमें कोई भी भाग 5 से बड़ा नहीं है, Q105 है।
x) समीकरण के धन पूर्णांक हलों की संख्या
है।