दी गई समीकरण है: [ (x^2y - 2xy^2)dx - (x^3 - 3x^2y)dy = 0 ] सबसे पहले इसे इस रूप में लिखते हैं: [ M,dx + N,dy = 0 ] जहाँ [ M = x^2y - 2xy^2 = xy(x - 2y), \quad N = -(x^3 - 3x^2y) = -x^2(x - 3y) ] चलिए देखें कि यह exact (सटीक) है या नहीं। Exact होने की शर्त है: [ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} ] अब (\partial M / \partial y) निकालते हैं: [ M = x^2y - 2xy^2 ] [ \frac{\partial M}{\partial y} = x^2 - 4xy ] और (\partial N / \partial x): [ N = - (x^3 - 3x^2y) = -x^3 + 3x^2y ] [ \frac{\partial N}{\partial x} = -3x^2 + 6xy ] हम देखते हैं कि [ \frac{\partial M}{\partial y} = x^2 - 4xy \neq -3x^2 + 6xy = \frac{\partial N}{\partial x} ] तो यह exact नहीं है। अब हम देखते हैं कि क्या कोई integrating factor ( \mu = x^m y^n ) से इसे exact बनाया जा सकता है। सामान्य तौर पर, यदि (\mu = x^m y^n), तो [ \frac{\partial (\mu M)}{\partial y} = \frac{\partial (\mu N)}{\partial x} ] मान लेते हैं (\mu = 1/x^2), क्योंकि (N) में (x^2) फैक्टर है। [ \mu M = \frac{1}{x^2}(x^2y - 2xy^2) = y - \frac{2y^2}{x} ] [ \mu N = \frac{1}{x^2}(-x^3 + 3x^2y) = -x + 3y ] अब (\partial(\mu M)/\partial y) निकालते हैं: [ \frac{\partial}{\partial y}\left(y - \frac{2y^2}{x}\right) = 1 - \frac{4y}{x} ] और (\partial(\mu