सिद्ध कीजिए कि वलयों के रूप में, .
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Let G be a group of order 56. What are all its Sylow p-subgroups? Show that G is not simple, i.e., G must have a proper normal non-trivial subgroup.
निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं? अपने उत्तरों की पुष्टि कीजिए। (इसका अर्थ है कि यदि आप सोचते हैं कि कोई कथन असत्य है, तो एक संक्षिप्त उपपत्ति या एक उदाहरण ऐसा दीजिए जो उसे असत्य दर्शाए। यदि यह एक सत्य कथन है, तो ऐसा कहने के लिए एक संक्षिप्त उपपत्ति दीजिए।)
i) , जहाँ
ऑयलर-फ़ाई फलन है।
ii) यदि G1 और G2 समूह हैं, तथा एक समूह समाकारिता है, तो
होगा।
iii) यदि G एक आबेली समूह है, तो G चक्रीय होगा।
iv) यदि G एक समूह है तथा , तो
होता है।
v) Sn के प्रत्येक अवयव की कोटि ज़्यादा से ज़्यादा n होती है।
vi) यदि R एक वलय है तथा R की एक गुणजावली I है, तो और
।
vii) यदि सम संख्या में असंयुक्त चक्रों का गुणनफल है, तो
होता है।
viii) यदि किसी वलय का एक मात्रक है, तो उसका केवल एक ही मात्रक होता है।
ix) परिमित क्षेत्र का अभिलाक्षणिक शून्य होता है।
x) [0, 1] से तक असंतत फलनों का समुच्चय बिंदुशः योग और गुणन के सापेक्ष एक वलय होता है।
जाँच कीजिए कि निम्नलिखित का एक उपसमूह है या नहीं :
Hence show that if N is an ideal of R properly containing M, then .
Let G be a group such that is cyclic. Prove that G is abelian.
दर्शाइए कि के अनंततः अनेक मान हैं जिनके लिए
में
अखंडनीय है।
दर्शाइए कि M, R की एक गुणजावली है।