IGNOU PHE 5 2026 - फोबेनियस विधि द्वारा निम्नलिखित साधारण अवकल समीकरण का हल प्राप्त करें

Question

फोबेनियस विधि द्वारा निम्नलिखित साधारण अवकल समीकरण का हल प्राप्त करें :

$\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{1}{2x} \frac{dy}{dx} + y = 0$

29 Jan 2026

Answer :

Word Count : 450

हमें निम्नलिखित अवकल समीकरण का हल फोबेनियस विधि से निकालना है: [ \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{1}{2x}\frac{dy}{dx} + y = 0 ] यहाँ (x=0) पर एक नियमित संधि (regular singular point) है, इसलिए हम फोबेनियस विधि का उपयोग करेंगे। फोबेनियस विधि के अनुसार हम हल मानते हैं: [ y = x^r \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n, \quad a_0 \neq 0 ] पहले अवकलन निकालते हैं: [ \frac{dy}{dx} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (n+r) x^{n+r-1}, \quad \frac{d^2y}{dx^2} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (n+r)(n+r-1) x^{n+r-2} ] इन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करें: [ \sum_{n=0}^{\infty} a_n (n+r)(n+r-1) x^{n+r-2} + \frac{1}{2x} \sum_{n=0}^{\infty} a_n (n+r) x^{n+r-1} + \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r} = 0 ] दूसरे टर्म को सरल करें: (\frac{1}{2x} \sum a_n (n+r) x^{n+r-1} = \sum a_n \frac{(n+r)}{2}

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