IGNOU MTE 14 2026 - निम्नलिखित समीकरण निकाय लीजिए।$संगत रैखिक समीकरण-निकाय के क्रांतिक

Question

निम्नलिखित समीकरण निकाय लीजिए।
$$\frac{dx}{dt} = y, \frac{dy}{dt} = -k^2 \sin x$ $
संगत रैखिक समीकरण-निकाय के क्रांतिक बिन्दु की प्रकृति ज्ञात कीजिए।
ग) लंबाई l वाली डोरी के एक छोर को एक नियत बिन्दु से और दूसरे छोर को द्रव्यमान m वाली एक छड़ी से जोड़ दिया गया है। यह छड़ी अचर वेग v से एक वृत्त में चक्कर काट रही है। विमीय विश्लेषण की सहायता से डोरी में लग रहे बल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

09 Jan 2026

Answer :

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दिए गए समीकरण निकाय [ \frac{dx}{dt}=y,\qquad \frac{dy}{dt}=-k^2\sin x ] के क्रांतिक बिन्दु वे बिन्दु होंगे जहाँ (\frac{dx}{dt}=0) और (\frac{dy}{dt}=0) हों। इससे (y=0) तथा (\sin x=0) मिलता है, अतः क्रांतिक बिन्दु ((x,y)=(n\pi,0)), जहाँ (n) पूर्णांक है। इनकी प्रकृति ज्ञात करने के लिए संगत रैखिक समीकरण-निकाय प्राप्त करते हैं। (\sin x) का (x=n\pi) के आस-पास प्रसार करने पर (\sin x\approx (x-n\pi)\cos n\pi=(x-n\pi)(-1)^n) होगा। अतः रैखिकीकृत निकाय [

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