Question
अवशिष्ट विधि का उपयोग कर, सिद्ध करें कि :
Answer :
Word Count : 284
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Skip in 10
हम अवशिष्ट (Residue) विधि का उपयोग करके निम्नलिखित समाकलन को हल करेंगे: [ \int_0^\infty \frac{dx}{x^2 + 1}. ] चरण 1: समाकलन को जटिल विमा में व्यक्त करें परिकल्पना करें कि [ f(z) = \frac{1}{z^2 + 1} = \frac{1}{(z-i)(z+i)} ] एक जटिल चर ( z ) के लिए। हम ( z )-समतल में एक अर्धवृत्तीय पथ ( C ) चुनते हैं जो वास्तविक अक्ष पर ( -R ) से ( R ) तक जाता है और फिर ऊपर की ओर अर्धवृत्तीय गोला ( |z| = R ) पर वापस आता है। बाद में ( R \to \infty ) कर देंगे। चरण 2: अवशेषों का पता लगाएं सिंगुलैरिटी (ध्रुव बिंदु) हैं: [ z
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सिद्ध करें कि :