IGNOU BSCG BMTC 133 Real Analysis Solved Assignment ENGLISH

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BMTC 133 (January 2026 - July 2026) - ENGLISH

Assignment
(To be done after reading the course material)

Course Code: BMTC-133
Assignment Code: BMTC-133/TMA/2026
Maximum Marks: 100

1. State whether the following statements are true or false. Justify your answers with a short proof or a counterexample. 

i) The negation of  is .

ii)  is countable.

iii) The equation  has a real root between -2 and 1.

iv) Every increasing sequence has a convergent subsequence.

v) The function defined as

has a removable discontinuity.

vi) An integrable function can have finitely many points of discontinuity.

vii) The series  is divergent.

viii) The function f defined by , has local maximum at .

ix) Every constant function on [a, b] is Riemann Integrable.

x) The function  defined by  is differentiable at .

2. (a) Using mathematical induction, prove that the sum of the squares of first 'n' natural numbers is .

(b) State Cauchy’s second theorem on limits. Use it to show that:

(c) Check whether or not the sequence , defined by:

and  is convergent.

3. (a) Test the convergence of the series: .
(b) Find the radius of convergence of the series , where .
(c) Show that the set:

is not closed.

4. (a) Show that the function  defined as  is continuous on its domain, but not uniformly continuous there. Will the function be uniformly continuous on  for any fixed c > 0?

(b) Examine the type of discontinuity of the function at  where


(c) Check whether the following sets are open or closed or neither:
(i) 
(ii) 

5. (a) Suppose that f and g are in R[a, b]. Then show that the function f + g is in R[a, b], and

(b) Discuss the convergence of the p-series  by using the integral test.

6. (a) Prove that .

(b) Prove that every convergent sequence is Cauchy.

(c) Disprove the statement:

by providing a suitable counter-example.

7. (a) State Bolzano-Weierstrass theorem. Use it to check whether the set:

has a limit point.

(b) Give one example for each of the following. Justify.
(i) A set which is neither open or closed.
(ii) A set which has no limit point.

(c) Check whether the set of integers is countable or not.

8. (a) Let f be a differentiable function whose derivative never vanishes on [a, b]. Show that f is either strictly increasing or strictly decreasing.
(b) If an infinite series  converges, then show that .

 

BMTC 133 (January 2026 - July 2026) - HINDI

सत्रीय कार्य
(पाठ्य सामग्री पढ़ने के बाद ही इसे हल करें।)

पाठ्यक्रम कोड: BMTC-133

सत्रीय कार्य कोड: BMTC-133/TMA/2026

अधिकतम अंक: 100

1. जाँच कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं अथवा असत्य। अपने उत्तर की लघु-व्याख्या या प्रति-उदाहरण द्वारा पुष्टि कीजिए। ()

(i)  का निषेध  है।

(ii)  गणनीय हैं।

(iii) समीकरण  का एक वास्तविक मूल -2 और 1 के बीच है।

(iv) प्रत्येक वर्धमान अनुक्रम का एक अभिसारी उप-अनुक्रम होता है।

(v) फलन   में एक अपनेय असांतत्य है।

(vi) एक समाकलनीय फलन में असांतत्य के सीमित बिंदु होते है।

(vii) श्रेणी  अपसारी है।

(viii) फलन f, जो , द्वारा परिभाषित है तथा  पर परिभाषित है, का स्थानीय अधिकतम  पर हैं।

(ix) अंतराल [a, b] पर परिभाषित प्रत्येक अचर फलन रीमान समाकलनीय होता है।

(x) फलन  जो  द्वारा परिभाषित है,  पर अवकलनीय है।

2. (a) गणितीय आगमन का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि प्रथम 'n' प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योगफल  होता है। 

(b) सीमाओं पर कौशी का द्वितीय प्रमेय लिखिए। इसे यह प्रदर्शित करने के लिए प्रयोग कीजिए कि  हो। 

(c) जाँच कीजिए कि अनुक्रम , जिसे इस प्रकार से परिभाषित किया जाता है:
, और .
अभिसारी है या नहीं। 

3. (a) श्रेणी  के अभिसरण की जाँच कीजिए।

(b) श्रेणी , की अभिसरण त्रिज्या ज्ञात कीजिए। जहाँ  है। 

(c) सिद्ध कीजिए कि यह समुच्चय  संवृत नहीं है।

4. (a) दिखाइए कि फलन , जो  द्वारा परिभाषित है, अपने प्रांत पर सतत है, परंतु वहाँ समान रूप से सतत नहीं है। क्या यह फलन किसी भी निश्चित c > 0 के लिए अंतराल  पर एकसमान सतत होगा? 

(b) फलन f की  पर असांतत्य के प्रकार की जाँच कीजिए, जहाँ
  है। 

(c) जाँच कीजिए कि निम्नलिखित समुच्चय विवृत हैं या संवृत हैं अथवा न तो विवृत हैं और न ही संवृत।

i. 

ii.  
5. (a) मान लीजिए कि f तथा g, R[a, b] में हैं। तब दिखाइए कि फलन f + g भी R[a, b] में हैं, तथा . 
(b) समाकल परीक्षण का प्रयोग करके  p − श्रेणी  , जहाँ p > 0, के अभिसरण पर चर्चा कीजिए। 

6. (a) सिद्ध कीजिए कि , जहाँ x अंतराल  में है। 

(b) सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक अभिसारी अनुक्रम कौशी होता है। 

(c) उपयुक्त प्रति उदाहरण देकर इस कथन को असिद्ध कीजिए: 

प्रत्येक  तथा  के लिए  है। 

7. (a) बोलजनों-वेयरस्ट्रास प्रमेय लिखिए। इसका प्रयोग करके जाँच कीजिए कि समुच्चय  का कोई सीमा-बिंदु है या नहीं। 

(b) निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए एक - एक उदाहरण दीजिए। अपने उत्तर का कारण बताइए।

i. एक ऐसा समुच्चय जो न तो विवृत है और न संवृत है।

ii. एक ऐसा समुच्चय जिसका कोई सीमा बिंदु नहीं है। 

(c) जाँच कीजिए कि पूर्णांकों का समुच्चय गणनीय है या नहीं। 

8. (a) मान लीजिए कि f एक अवकलनीय फलन है, जिसका अवकलज अंतराल [a, b] पर शून्य नहीं होता। तब दिखाइए कि f या तो सर्वथा वर्धमान है अथवा सर्वथा ह्रासमान है। 

(b) यदि अनंत श्रेणी  अभिसारी है, तो दिखाइए कि  होती है। 

 

BMTC 133 2025 - English

ASSIGNMENT

Course Code: BMTC-133

Assignment Code: BMTC-133/TMA/2025

Maximum Marks: 100

1. Which of the following statements are true or false? Give reasons for your answers in the form of a short proof or counter-example, whichever is appropriate:

i) Every infinite set is an open set.

ii) The negation of p^~qis p→q.

iii) -1 is a limit point of the interval ]-2,1].

iv) The necessary condition for a function f to be integrable is that it is continuous.

The function f: R→R defined by f(x) = |x-2|+|3-x is differentiable at x = 5.

2. a) Test the following series for convergence.

(i)  

(ii) 

b) Prove that the sequence (a_n)_n∈N, where a_n = 3² / x² + 2^{2 ,} is Cauchy.

3. a) Show that the set:

is not closed.

b) Test the following series for convergence:

4. a) Prove that a function f : S → S (where S is a finite non-empty set) is injective if it is surjective.

b) Disprove the statement:

by providing a suitable counter-example.

c) Find the supremum and infimum of the set:

5. a) Show that [a,∞)is closed set.

b) Write the following statement, and its negation, using logical quantifiers. Also interpret its negation in words.

∃ x∈R such that x-1/3 > 0.

c) Let x and y be two real numbers such that x < y.Show that there exists an irrational number λ such that

x < λ < y.

6. a) Prove that between any two real roots of ,2 e cos2x = x there is at least one real root of e^x sin 2x = 1.

b) Let f : R → R be a function defined by:

Check whether f ′ is continuous on R.

7. a) Apply the Cauchy’s integral test to evaluate:

b) For x∈ ]2,0[ and n∈N, define f_n (x) = 3 x² + 2x/n. Find the limit function ' f ' of the sequence (f_n ) _n∈N , Is f continuous? Check if  and  are equal or not.

8. a) Find the radius of convergence of the series .

b)   

Check whether f is uniformly continuous on [− ]1,1 or not.

c) Show that 

9. a) Show that the sequence {f_n}of functions, where 

is uniformly convergent in ,0[ k],where k > .0 Show further that } { n f is not uniformly convergent in ,0[ ∞[.

b) Evaluate  using Riemann integration.

10. a) Find the value/s of x for which the series 

  

is convergent.

b) Give one example each for the following. Justify your choice of examples.

i) A sequence which is divergent.

ii) A set which is neither open nor closed.

iii) A compact set.

iv) A set which has no limit point

BMTC 133 2025 - Hindi

सत्रीय कार्य

पाठ्यक्रम कोड: बीएमटीसी-133

सत्रीय कार्य कोड: बीएमटीसी-133/त्मा/2025

अधिकतम अंक: 100

1. निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं या असत्य हैं? लघु उपपत्ति या प्रति-उदाहरण जो भी उचित हो, के साथ अपने उत्तरों के कारण बताइए :

i) प्रत्येक अनंत समुच्चय एक विस्तारित समुच्चय है।

ii) का निषेध  है।

iii) - 1 अन्तराल ]-2,1] का सीमा बिन्दु है।

iv) फलन f के समाकलनीय होने के अनिवार्य प्रतिबंध है कि वह संतत हो।

v) द्वारा परिभाषित फलन पर अवकलनीय है।

2. क) निम्नलिखित श्रेणियों के अभिसरण की जाँच कीजिए :

(i)  

(ii)  

ख) कॉशी अनुक्रम को परिभाषित कीजिए। सिद्ध कीजिए कि अनुक्रम  , जहाँ    कॉशी है।

3. क) दिखाइए कि समुच्चय :

           

विवृत नहीं है।

ख) निम्नलिखित श्रेणी के अभिसरण की जाँच कीजिए :

                 

4. क) सिद्ध कीजिए कि फलन फ: ऍस ऍस (जहाँ S परिमित अरिक्त समुच्चय है) एकैकी है, यदि यह आच्छादी है।

ख) एक उचित प्रति-उदाहरण देते हुए निम्नलिखित कथन को असिद्ध कीजिए :

                

ग) समुच्चय का उच्चक और निम्नक ज्ञात कीजिए।

5. क) दिखाइए कि प्रत्येक [a,∞) एक विवृत समुच्चय है।

ख) निम्नलिखित कथन तथा उनके निषेध को तर्कसंगत प्रमात्रकों का प्रयोग करते हुए आप किस प्रकार प्रस्तुत करेंगे? निषेध को शब्दों में भी दीजिए।

                 

ग) मान लीजिए कि ऍक्स और वाइ दो वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार हैं कि x < y है। ऐसी एक अपरिमेय संख्या मालूम कीजिए जिस के लिए निम्नलिखित होता है।

x <  < y

6. क) सिद्ध कीजिए कि e^x cos2x = 2 के किन्हीं दो वास्तविक मूलों के बीच e^x sin2x = 1 का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है।

ख) मान लीजिए

                

द्वारा परिभाषित फलन है। दिखाइए कि  पर संतत है लेकिन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है।

7. क) कॉशी समाकल परीक्षण द्वारा निम्नलिखित मूल्यांकन कीजिए :

             

ख) समुच्चय x∈ [0,2] और n∈ , के लिए  लीजिए। अनुक्रम का ॲन् सीमा फलन 'f' ज्ञात कीजिए। क्या f संतत है? जाँच कीजिए कि और समान हैं या नहीं। 

8. a) त्रिज्या    जहाँ की अभिसरण त्रिज्या ज्ञात कीजिए I

ख) मान लीजिए   

जाँच की f, [-1,1] पर एकसमान सांतत्य है या नहीं।

ग) सिद्ध कीजिए :

                 

9. क) सिद्ध कीजिए कि फलनों का अनुक्रम {f_n} जहाँ

                   

[0,k] पर एकसमानतः अभिसरित है जहाँ k> 0 है। आगे सिद्ध कीजिए कि {f_n}, [0,∞ [ पर एकसमानतः अभिसरित नहीं है।

ख) रीमान समाकलन से परिकलित कीजिए। 

10. क) ऍक्स के वे मान ज्ञात कीजिए जिन के लिए श्रेणी

                 

अभिसरित होती है।

ख) निम्नलिखित के एक-एक उदाहरण दीजिए। अपने चयन की पुष्टि कीजिए।

i) एक अनुक्रम जो अपसारी है।

ii) एक समुच्चय जो विवृत है लेकिन संवृत नहीं है।

iii) संहत समुच्चय I

iv) एक समुच्चय जिसका कोई सीमा बिन्दु नहीं है।

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