Question
सिद्ध कीजिए कि फलन कौशी-रीमान और लाप्लास समीकरणों को संतुष्ट करता है।
Answer :
Word Count : 290
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मान लीजिए कोई जटिल फलन ( f(z) = u(x,y) + i v(x,y) ) है, जहाँ ( u ) और ( v ) वास्तविक फलन हैं और ( z = x + iy ) है। यदि ( f(z) ) अवकलनीय है, तो इसके अवकलन के लिए कौशी-रीमान समीकरण संतुष्ट होना आवश्यक और पर्याप्त शर्त है। कौशी-रीमान समीकरण निम्नलिखित रूप में होते हैं: [ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}. ] इन समीकरणों से हम ( u ) और ( v ) के द्विघात अवकलनों पर विचार करते हैं। पहले ( u ) के लिए: [ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
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