सिद्ध कीजिए कि चक्रीय समूह के प्रत्येक अतुच्छ उपसमूह का परिमित सूचकांक होता है। इस तरह सिद्ध कीजिए कि  चक्रीय नहीं है

सिद्ध कीजिए कि केवल एक जनक वाले चक्रीय समूह के अधिक से अधिक 2 अवयव हो सकते हैं। 

 Which of the following statements are true? Give reasons for your answers. 
i) If a group G is isomorphic to one of its proper subgroups, then .
ii) If x and y are elements of a non-abelian group (G, ) such that , then  or , where e is the identity of G with respect to $$.
iii) There exists a unique non-abelian group of prime order.
iv) If , where A is a group, then .
v) If H and K are normal subgroups of a group G, then .

 Find all the units of .   Check whether or not  is a field.  

. Which of the following statements are true, and which are false? Give reasons for your answers.  
i) If k is a field, then so is .
ii) If R is an integral domain and I is an ideal of R, then .
iii) In a domain, every prime ideal is a maximal ideal.
iv) If R is a ring with zero divisors, and S is a subring of R, then S has zero divisors.
v) If R is a ring and  is of degree , then f(x) has exactly n roots in R.

 क) क्रमविनिमेय वलय R की गुणजावली I के लिए,
, किसी  के लिए परिभाषित कीजिए। दिखाइए कि

यहाँ चित्र में दिए गए टेक्स्ट का लिखित रूप है:
i)  की एक गुणजावली है।
ii) .
iii)  कुछ स्थितियों में ।  
ख)  क्या वलय R की कोई भी दो गुणजावलियों I और J के लिए,  ? अपने
 उत्तर की पुष्टि कीजिए।  (5)

Which of the following statements are true, and which are false? Give reasons for your answers. 
i) For any ring R and .
ii) Every ring has at least two elements.
iii) If R is a ring with identity and I is an ideal of R, then the identity of R/I is the same as the identity of R.
iv) If  is a ring homomorphism, then it is a group homomorphism from (R, +) to (S, +).
v) If R is a ring, then any ring homomorphism from  into R is surjective.