IGNOU MTE 11 2026 - निम्नलिखित संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन लीजिए : (10)$क्या दोन

Question

निम्नलिखित संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन लीजिए : (10)
$$f(x, y) = y^2 e^{-y(x+1)}; x \ge 0, y \ge 0.$ $
क्या दोनों x और y समाश्रयण रैखिक हैं? अपने उत्तर का कारण दीजिए।एक चर x का माध्य और मानक विचलन क्रमशः m और $\sigma$ है। $\frac{(ax+b)}{c}$ , का माध्य और मानक विचलन ज्ञात कीजिए जबकि a, b और c अचर हैं।

10 Jan 2026

Answer :

Word Count : 143

दिया गया संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन ( f(x,y)=y^{2}e^{-y(x+1)},; x\ge 0,; y\ge 0 ). पहले सीमांत घनत्व निकालते हैं। (f_X(x)=\int_{0}^{\infty} y^{2}e^{-y(x+1)}dy). यहाँ (\int_{0}^{\infty} y^{2}e^{-ay}dy=\dfrac{2}{a^{3}}) जहाँ (a>0). अतः ( f_X(x)=\dfrac{2}{(x+1)^3},; x\ge 0). इसी प्रकार (f_Y(y)=\int_{0}^{\infty} y^{2}e^{-y(x+1)}dx =y^{2}e^{-y}\int_{0}^{\infty}e^{-yx}dx) (=y^{2}e^{-y}\left[\dfrac{1}{y}\right]=y e^{-y},; y\ge 0). अब जाँचते हैं कि (f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)) या नहीं। (f_X(x)f_Y(y)=\dfrac{2}{(x+1)^3},

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